定理内容

平面上有四条直线, 这四条直线每三条会围成一个三角形, 将四个三角形的外接圆称为0次迭代圆, 其圆心称为0次外心, 则有 1. 0次迭代圆共点; 2. 0次外心共圆, 记为1次迭代圆, 其圆心记为1次外心.

增加一条直线, 这时会产生五个1次迭代圆和1次外心, 仍有 1. 1次迭代圆共点; 2. 1次外心共圆, 记为2次迭代圆, 其圆心记为2次外心.

以此类推, 这个结论都是成立的, 即 $n$ 次迭代圆共点, $n$ 次外心共圆.

标记方法与约定

直线记为 $l_i$, 迭代到第 $n$ 次时, 应当有 $n+4$ 条直线. 直线的交点记为 $X_{ij} = l_i \cup l_j$.

在第 $n$ 次迭代中, 存在 $n+4$ 个不同的 $n$ 次迭代圆, 它们每一个都会有 $n+3$ 条直线确定. 将它们的圆心记为 $O_k$, 其中 $k$ 是与这个圆无关的那条直线的下标. 同样地, $n-1$ 次外心也可以用这种方式来标记, 它们的下标将包含两个无关直线的下标, 例如 $O_{kl}$. 以此类推, 也可以用这种方式来标记 $n-2$ 次外心. 当然, 继续往下也是可以的, 但在证明中最低只需要用到 $n-2$ 次迭代圆.

第 $n$ 次迭代中, 定义 $M_i = \cup_{j\ne i}\odot O_{ij}$.

注意到:

进入新的迭代后，所有的点的标记都会改变;
在第一次迭代中, 直线交点就是所谓的 $n-2$ 次外心. 因为第一次迭代涉及5条直线, 而直线的交点恰好与三条直线无关.

由于高次迭代中, 线段、角度等的相对关系变得不可控, 因此对角度做出如下约定:

所有的角度都是有向角, 即 $\angle ABC = -\angle CBA$;
互补的角认为是相等的, 这样就能统一四点共圆的圆周角判定方法;
$\odot O$ 上的弧 $AB$ 对应的圆周角记为 $\odot O \angle AB$. 这个角度也是有向的.

首先, 密克定理可以通过以上的方式来改写:

在第0次迭代中, $\odot O_1$, $\odot O_2$, $\odot O_3$ 和 $\odot O_4$ 交于一点 $M$, 且 $M$ 与 $O_1$, $O_2$, $O_3$ 和 $O_4$ 共圆.

这条性质将在下面的证明中使用: $\angle l_jl_i = \angle O_{ik}MO_{jk} = \odot O_k \angle O_{ik}O_{jk}$